第72章 数学省赛 (第2/2页)
学弟，学妹们，你们自求多福吧！
这次数学省赛，张尧三人这次并不在一个考场。数学省赛考试分两场。
第一场考试在上午的八点到九点二十。一共有八道填空题每题八分，三道大题，第一题十二分，后两题20分，满分一共120分。
这张试卷和张尧初赛做的类似，难度要再上升一个档次。
整张试卷最难的是一道集合题，对于整数n≥4，求出最小的整数 f ( n )，使得对于任何正整数 m ，集合（ m , m +1,..., m +-1）的任一个 f ( n ）元子集中，均至少有3个两两互素的元素。
这题考到了素数和集合相结合的问题，难度比较大。
素数一项是数学猜想中的难点，不过这题和猜想没法比。只不过需要做题者足够的细心，需要考虑情况有点多。这题是耗费张尧时间最长的一道题。
不过这种题有一种好处，只要能想起来怎么写，写出来就大概率没问题。
数学竞赛很难会空很长时间，大部分学生都是打铃之后才选择交卷。
已经放弃的除外。
这张试卷考完之后，下一场就在九点四十，这场属于附加赛。这些题目就属于那种和高考完全脱钩的题目了。
如果不选择走竞赛这条路，这些题都可以直接放弃了。
第二场从九点四十到十二点半。一共三个小时不到，满分180分，一共四道题。前面两题各40分，后面两题各50分。
看起来时间比较宽裕，但给的时间越长题目越难！
二试的每一道题都非常的简练，其实这不是一件好事。所有的题目都分三个方向来考学生，一是审题，二是思考，三是计算。
有些题看着一大串字，这种题却并不可怕。因为它的难度大部分都集中在了审题上了，只要你能把题目搞懂，题目做起来还是不难的！
有些题题目非常简练，这样的题就要小心了。因为它的难度可能集中在后两项中。
第一题考的是三角形和不等式
题干设三角形 Abc 三边长为 a , b , c ，有不等式
∑（ b - c )2≥1\/3∑b＋c\/a(b-c)2,试证不等式1中的系数1\/3是最优的。
这题需要将系数1\/3一般化，设为k然后证明k的取值范围≤1\/3就可。这题在第一题难度相对不大。
第二题求一切实数 p ，使得三次方程5x3-5( p +1)x2+(71p-1) x +1\\u003d66p
这题难度也不太离谱，假设法设未知数，最后求得 v \\u003d17或59, u \\u003d59或17, p \\u003d u + v \\u003d76，即当且仅当 p \\u003d76时，方程三根均是正整数：1,17,59
从第三题就有点不好搞了，这是一道数列题。
设 a \\u003d1,a2\\u003d2.an\\u003d2an-1+ an-2 ， n \\u003d3,4,...。证明：对整数 n ≥5, an必有一个模4余1的素因子。
这题张尧花了不少时间，数学归纳法在这题上用的出神入化，另外还用到了费马小定理和分类讨论的思想。
求解过程相当复杂，就这一道题把张尧前两题积累的时间全用完了。
最后一题是考的是染色问题，染色问题属于杂题，但在猜想中与其相关的不少。
题干为能否把1,1,2,2,3,3,...,1986,1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，...，两个1986、之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论
证明将1986x2个位置按奇数位着白色，偶数位着黑色染色，于是黑白点各有1986个。证明将1986x2个位置按奇数位着白色，偶数位着黑色染色，于是黑白点各有1986个
现令一个偶数占据一个黑点和一个白色，同一个奇数要么都占黑点，要么都占白点．于是993个偶数，占据白点 A ,\\u003d993个，黑色 b ,\\u003d993个．
993个奇数，占据白点 A ,\\u003d2a个，黑点 bg \\u003d2b个，其中 a + b \\u003d993.因此，共占白色 A \\u003d A ,+ A ,\\u003d993+2a个．
黑点 b \\u003d b ,+ b ,\\u003d993+2b个，
由于 a + b \\u003d993（非偶数！) a ≠ b ，从而得 A ≠ b ．这与黑、白点各有1986个矛盾．故这种排法不可能．
这题其实比上一题要来的简单，不过染色问题很少做最后一题考，一下子遇到还是有点难办！
这张试卷写完后，张尧感觉这次数学竞赛的难度不是很大，不比往年要难。只能说差不多罢了。
也不怪张尧这样想，他参加的竞赛太多了，有时他都默认省赛题会比初赛难很多的设定了。但其实也不尽然，有些地方的初赛试题不比联赛来的容易。
写完后大概还剩三十分钟的时间。张尧把真张试卷都检查了一下，尤其检查是不是有笔误，数学试题的解答过程很长，如果出现这种错误，对评分影响很大。
检查完毕后张尧又对其中一些题目用其他方法尝试，最好用的莫过于反证法。一般结论是错误的题目用反证法更容易一点。
但张尧没把最后的结果写上，这只是他的一种尝试而已，并不完全正确。所以放在试卷上可能会出现狗尾续貂的问题。