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第两百六十二章证明波利尼亚克猜想 (第1/2页)

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回到普林斯顿大学,刘一辰整个人开始逐步调整自己的状态。

图书馆中,刘一辰手中转着笔,大脑转得飞快。

正所谓劳逸结合,暑假三个多月时间,好好玩了一个月,其他世界也都没有考虑课题研究,此时将注意力调整到数学上,灵感不断迸现。

“也许群论可以很好地解决我目前遇到的问题!”刘一辰暗道。

群论是个很强大的工具,不但和泛函分析中的希尔伯特空间并列为量子力学的两大理论神器,在数论中、尤其是针对无限的素数问题进行研究时,更是往往能发挥奇效。

比如,任何基础数论的老师,在第一或者第二堂课上都会提到的一个很经典的范例——费马小定理。

这条定理有很多中证明方法,其中公认最简洁证明方法,便是用群论证明的。

至于有多简洁,标准字体甚至只需要三行就能做到。

即,若a和p互素,由euler定理有a^φ≡1,但φ=p-1,故a^≡1,两边乘以a即可得结论:当a是自然数,p是素数时,有a^p≡a。

是不是很简单?

事实上,费马小定理只是欧拉定理中的一个特例。

不过用欧拉定理,依旧可以用群论的方法解决,而且全部证明过程用不了半页纸。

之前证明了孪生素数猜想,刘一辰在思考着波利尼亚克猜想证明的时候,一直在考虑着如何将k=1形式推广到无穷大的自然数上,他首先想到了对筛法的拓扑学原理进行补充,不过却遇到了障碍。

现在一个暑假三个多月的放松,刘一辰再次考虑的时候,脑海里想到了群论。

来了灵感,刘一辰开始在草稿纸上写下一行行算式。

一连几天,刘一辰终于完成了波利尼亚克猜想的证明,看着自己写的十几页草稿纸,刘一辰露出了澹澹的微笑。

他这段时间在arxiv网站上看到很多论文,都是想要在他证明孪生素数的猜想上,进一步来证明波利尼亚克猜想,但是毫无疑问,那些都存在着致命的思维错误,有些可能是作者没有发现,有些则是作者想要取巧躲避过去。

可是这对于研究数论已经达到大老水平的刘一辰而言,却都逃不过他的双眼。

“接下来就是整理论文!”刘一辰大门不出二门不迈,就在宿舍里面整理论文,三餐都是冯琳给他带来的。

完成了波利尼亚克猜想的证明,整理论文起来就容易多了,刘一辰先整理中文版论文,草稿纸十几页,但是整理成论文就有48页了。而整理成英文版,就足足63页,这么长边幅,分成两篇论文都足够了。

不过刘一辰并没有分成两篇论文,已经和上次证明弱哥德巴赫猜想不同,这一次证明波利尼亚克猜想,上下是连贯的。

将完成好的论文保存好后,上传到arxiv网站上占坑,随后进行投稿,将论文投稿给《数学年刊》,刘一辰忍不住站起来伸了一下懒腰,浑身发出噼里啪啦的声音。

走到窗户边,拉开了窗帘,只觉得空气都变得清新了,刘一辰的心情说不出的愉悦。

不只是因为解决了又一个数学难题,多了一篇sci论文,而是因为在解决这个数学难题时,让他对群论有了更为深刻的理解,并且在此基础上研究出了一套全新的数学方法。

而这一发现,甚至比解决数学猜想本身,更让他心情激动。

希尔伯特曾评价费马大定理是一只会下金蛋的鸡,并不是因为这只母鸡养活了一大批数学家,也不是因为这只母鸡给很多期刊提供了水论文的机会,而是因为很多新颖的数学方法,都是在对数论问题的研究中得出的。

比如受费马问题的启发,库默引入了理想数的概念,并发现了把一个循环域的数分解为理想素因子的唯一分解定理,这一定理今天已被狄德金和克朗奈克推广到任意代数域,在近代数论中占据中心地位,而且其意义已远远超出数论的范围而深入到代数的函数论的领域。

研究数学猜想的意义,不是因为解决一个数学猜想使他成为定理,这一点其实并不重要,真正重要的是研究数学猜想过程中产生的新的数学工具,或者对已有的数学工具有新的用法或者改进已有的数学工具,从而促使数学的发展。

“也许数学界以前的认知是有道理的,想要解决哥德巴赫猜想的‘1+1’形式,必须得寻找新的方法。”刘一辰心中暗道。

陈景闰在证明哥德巴赫猜想‘1+2’的时候,可以说是将筛法理论运用到了极致,也正是因为如此,在筛法理论下,过去半个世纪都没有人能够作出超越陈景闰‘1+2’的研究成果。

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